Beispiele für Paralleloeder treten typischerweise auf in Voronoï-Pflasterungen von Gittern. Die Voronoï-Zelle eines Gitterpunktes ist hierbei die Menge aller Punkte, die zu diesem Gitterpunkt keinen größeren Abstand haben als zu jedem anderen Punkt des Gitters. Diese Zellen bilden dann eine Translations-, sogar eine Gitterpflasterung des Raumes. Abgebildet sind hier die beiden (kombinatorischen) Typen zweidimensionaler Voronoï-Zellen in ihren jeweiligen Gitterpflasterungen.

Fedorov gelang 1885 als Erstem die Klassifikation dreidimensionaler Paralleloeder. Das sind konvexe Körper, die eine Pflasterung des euklidischen Raumes (bei fester Dimension) allein durch Translate eines solchen Körpers erlauben. (Man kann zeigen, dass in diesem Fall sogar eine Seite-an-Seite-Pflasterung durch die Vektoren eines geeigneten Gitters realisiert werden kann, siehe unten.)


Grundbegriffe und Ergebnisse der Klassifikation

Seit der Antike ist bekannt, dass in der Ebene nur zentralsymmetrische Vierecke und Sechsecke diese Bedingung erfüllen. Eine entsprechende Aussage für höhere Dimensionen aufzustellen, ist seit langem ein interessantes und schwieriges Forschungsproblem, auf dem bis heute vergleichsweise wenige Resultate in allgemeiner Dimension (über 4 hinaus) erzielt werden konnten.

zwei (zum Würfel) kombinatorisch äquivalente Polytope

In den Dimensionen 3 und 4 jedoch hat man weitgehend Klarheit: Die Arbeiten der beiden russischen Mathematiker Fedorov und Delone (1937/38) haben eine vollständige Klassifikation der kombinatorischen Typen von Paralleloedern geliefert. "Kombinatorisch" meint die Weglassung jeglicher metrischer Daten eines Polytops, es wird nur auf die Angaben reduziert, welche seiner k-dimensionalen Seiten in welchen (k+1)-Seiten enthalten sind. Formalisiert wird dies im Seitenverband des Polytops.

Name	f0	f1	f2	2-Untert.	Belts
abgestumpftes Oktaeder	24	36	14	68 46	66
hexarhombisches Dodekaeder	18	28	12	64 48	64 41
Rhombendodekaeder	14	24	12	412	64
hexagonales Prisma	12	18	8	62 46	61 43
Würfel	8	12	6	46	43
Neben dem f-Vektor (d.h. Eckenzahl f0, Kantenzahl f1 und der Zahl der Seiten f2) ist die 2-Unterteilung (64 48 steht für 4 Sechsecke und 8 Vierecke) sowie die Anzahl der "belts" angegeben: dt. Gürtel, das sind Familien von (je 4 oder 6) parallelen Kanten; der Index gibt die entsprechende Zahl solcher Familien an.

Die Charakterisierung von Venkov and McMullen

Es ist nicht sehr schwer zu zeigen, dass Paralleloeder die drei folgenden Eigenschaften besitzen:

Die "belts" sind maximale Familien von parallelen (d-2)-Seiten (auch Subfacetten, engl. ridges), wenn d die Dimension des Paralleloeders ist. Die Facetten des Polytops, die sie enthalten, umgürten das Polytop, daher die Bezeichnung. Seine Projektion auf den 2-dimensionalen Unterraum orthogonal zu einer dieser Subfacetten ist offensichtlich wieder ein Paralleloeder, nach Obigem also ein Polygon mit 4 oder 6 Seiten (das ist die dritte Eigenschaft).

Erstaunlich ist nun aber, dass auch die Umkehrung gilt: Jedes Polytop mit den genannten drei Eigenschaften ist ein Paralleloeder, mehr noch kann als Translationspflasterung sogar eine Seite-an-Seite-Pflasterung und damit ein Gitterplasterung erreicht werden. D. h. jedes Polytop, das eine Translationspflasterung des Raumes erlaubt, lässt eine solche schon mithilfe der Vektoren eines Gitters zu. Dieses Resultat wird oft P. McMullen (1971) zugeschrieben und wurde zuvor als offenes Problem behandelt, ist aber fast 30 Jahre zuvor von B. A. Venkov bewiesen worden [8], [11].

Wie findet man Paralleloeder? Wie die Abbildung oben andeutet, liefern Voronoï-Zellen von Gittern im euklidischen Raum mannigfach Beispiele.

Unter der Voronoï-Zelle (auch Dirichlet-Zelle) eines Punktes einer diskreten Menge versteht man dabei die Menge aller Punkte des Raumes, deren Abstand zum gegebenen Punkt nicht größer ist als zu jedem anderen Punkt der Menge. Als Beispiel aus dem Alltag kann man sich als Menge die Schulen einer Stadt vorstellen, die Voronoï-Zelle zu einer Schule ist dann das Einzugsgebiet der Schule.

Im Allgemeinen sind die Voronoï-Zellen der Punkte einer diskreten Menge völlig verschieden untereinander. Immerhin liefern sie stets eine Seite-an-Seite-Pflasterung des Raumes. Bei Gittern hingegen sind alle Voronoï-Zellen kongruent und gehen durch Translationen von Gittervektoren auseinander hervor. Man spricht daher auch von der Voronoï-Zelle eines Gitters (Abbildung oben).

Voronoï-Zellen von Gittern sind also stets Paralleloeder und besitzen daher die drei Eigenschaften (P1) bis (P3), die auch unabhängig von der genannten Charakterisierung oben nachgeprüft werden können. Darüber hinaus lässt sich noch leicht eine weitere Eigenschaft beweisen:

Dieses gilt nun für beliebige Paralleloeder nicht, wie man bereits am Parallelogramm erkennt. Allerdings scheint dies die einzige Einschränkung zu sein, die einer Umkehrung der Aussage, dass Voronoï-Zellen immer auch Paralleloeder sind, im Wege steht. In der Tat vermutete Voronoï 1908:

Diese Vermutung ist bis heute nur in Spezialfällen bewiesen und im Allgemeinen noch offen!

Voronoï selbst hat sie gezeigt für primitive Paralleloeder [12]. Legt man als Pflasterung eine Seite-an-Seite-Pflasterung des Raumes zugrunde, so bedeutet Primitivität hier nichts anderes, als dass jede Ecke eines Paralleloeders dieser Pflasterung Ecke von genau (und nicht mehr) d weiteren Paralleloedern ist. Der Paralleloeder heißt k-primitiv, falls jede seiner k-Seiten auch k-Seite von genau d-k weiteren Paralleloedern ist. 0-primitiv ist dann das gleiche wie primitiv, für k=d-1 wird nichts eingeschränkt und man hat den allgemeinen Fall. Man kann leicht sehen, dass k-primitiv (k-1)-primitiv impliziert.

Zitomirskij [13] nun hat 1929 den Voronoïschen Beweis auf (d-2)-primitive Paralleloeder verallgemeinert. Insb. gilt damit die Vermutung für alle Paralleloeder mit Belts ausschließlich der Länge 6 (in Dimension 4 sind dies immerhin 17 von 52).

B. B. Venkov (Sohn) hat uns mitgeteilt, dass sein Vater die Richtigkeit der Vermutung für ein gegebenes Paralleloeder aus dem Verschwinden einer bestimmten Kohomologiegruppe zu diesem Polytop folgern konnte. Auf diese Weise hat er die Vermutung für Paralleloeder mit höchstens einem "Belt" der Länge 4 bewiesen. B. B. Venkov meinte, das Verschwinden besagter Kohomologiegruppe sei auch notwendig für die Gültigkeit der Voronoïschen Vermutung. Alle diese Auusagen sind unveröffentlicht und entstammen der Erinnerung von B. B. Venkov und meiner Erinnerung an das länger zurückliegende Gespräch mit ihm.

Aus den Klassifikationsaussagen von Fedorov [6] und Delone [2] bzw. in den Dimensionen 1 und 2 ergibt sich die Richtigkeit der Vermutung für alle Dimensionen kleiner oder gleich 4.

In den letzten Jahren ist sie für die Klasse der Zonotope (Projektionen (höher-dimensionaler) Würfel) von R. Erdahl [5] und davon unabhängig von F. Vallentin in seiner Diplomarbeit [10] nachgewiesen worden.


Literatur

[1]	Conway, J.H., Sloane, N.J.A., Low-dimensional lattices. VI. Voronoi reduction of three-dimensional lattices., Proc. R. Soc. Lond. A 436 (1992), 55-68.
[2]	Delone, B.N., Geometry of positive quadratic forms, Usp. Mat. Nauk 3 (1937), 16-62, Usp. Mat. Nauk 4 (1938), 102-164. (In Russian.)
[3]	Dienst, Th., On zone-reductions in Voronoi-cells of lattices of the first kind, preprint, 1999.
[4]	Engel, P., Geometric crystallography, D. Reidel Publishing Company, 1986.
[5]	Erdahl, R.M., Zonotopes, dicings, and Voronoi's conjecture on parallelohedra, Eur. J. Comb. 20 (1999), 527-549.
[6]	Fedorov, E.S., The symmetry of regular systems of figures, Zap. Miner. Obshch. 21 (1885), 1-279. (In Russian.)
[7]	Janzen, S., Voronoi-Zellen von Gittern erster Art, Diplomarbeit, Universität Dortmund, 1998.
[8]	McMullen, P., Convex bodies which tile space by translation, Mathematika 27 (1980), 113-121. Acknowledgement of priority, Mathematika 28 (1981), 191.
[9]	Rybnikov, K., On the State of Voronoi's Conjecture on Parallelohedra, preliminary report.
[10]	Vallentin, F., Über die Paralleloeder-Vermutung von Voronoi, Diplomarbeit, Universität Dortmund, 2000.
[11]	Venkov, B. A., On a class of euclidian polytopes, Vestnik Leningrad Univ. (Ser. Mat. Fiz. Him.) 9 (1954), 11 -31. (In Russian.)
[12]	Voronoï, G., Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxieme mémoire. Recherche sur les paralléloèdres primitifs I, J. reine angew. Math. 134 (1908), 198-287.
[13]	Zitomirskij, O. K., Verschärfung eines Satzes von Woronoi, Z. Leningrad. Fiz.-Mat. Obsc. 2 (1929), 131-151 (1931).